Общие понятия и термины.

Система счисления – способ записи чисел и соответствующие правила действия над числами.

Алфавит системы счисления – это используемый в ней набор цифр.

Цифра – это символ (знак), используемый для записи чисел.

Можно выделить следующие виды систем счисления:

1. Унарная

2. Непозиционная

3. Позиционная

Простейшая и самая древняя система счисления – так называемая унарная система счисления. В ней для записи чисел использовался всего один символ – камешек, узелок, зарубка и т.п.

Унарная система лежит в основе арифметики, именно она вводит первоклассников в мир счета. Унарные системы еще называют системами бирок.

Непозиционные системы счисления

Система счисления называется непозиционной – когда значения цифры не зависит от её положения в числе.

Например, в римской системе счисления число XXX (30) цифра X встречается трижды, и в каждом случае обозначают одну и ту же величину – число 10, три раза по 10 в сумме дают 30.

Древний Вавилон

использовались всего 2 знака – (клинопись). Но считали они не десятками, а по 60 (однако числа до 60 записывались в «десятичном варианте»!).

«по-вавилонски» = 60х5+ 10х4+1х3 = 343

Древний Египет

был свой знак на 1, 10, 100, и т.д.

«по-египетски» = 100х3 + 10х4 + 1х3 = 343

Древний Рим

В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

I

V

X

L

С

D

М

1

5

10

50

100

500

1000

СССХLIII «по-римски» = (100+100+100) + (-10+50) + (1+1+1) = 343

Римская система записи чисел сохранилась до сих пор.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа — большая, то их значения вычитаются.

Пример:

XVI = 10 + 5 + 1 =16, а XIV =10+ 5 – 1 =14.

MCMXXXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10-10-10 + 100) +5+1+1+1= 1978.

Число ССХХХП складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) +5+1+1+1= 1998.

На Руси сборщики податей таким способом заполняли квитанции об уплате податей (ясака). Указана сумма в 1232 руб. 24 коп.

Закон гласил:

«Кроме изложения словами, должно быть показано особыми знаками число внесенных рублей и копеек, чтобы сдающие простым счетом сего числа могли быть уверены в справедливости показания.

Употребляемые в квитанции знаки означают: звезда – тысяча рублей, колесо – сто рублей, квадрат – 10 рублей, х – один рубль, IIIIIIIIII – десять копеек, I – копейку. Дабы неможно сделать здесь никаких прибавлений, все таковые знаки очерчивать кругом.»


Позднее, вплоть до 17 века на Руси в качестве цифр использовались буквы алфавита, над которыми ставился особый знак – титло. До настоящего времени подобная система записи чисел сохранилась в церковных книгах.

Позиционные системы

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции цифры в числе.

Например, число 555: цифра 5 встречается трижды, причём самая правая обозначает пять единиц, вторая – пять десятков и, наконец, третья – пять сотен.

К середине VIII века в Индии получила широкое применение позиционная система счисления. Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом из Хорезма (территория нынешнего Узбекистана). Оно было переведено в Европе на латинский язык в XII веке. Европейцы, заимствовавшие индийскую нумерацию от арабов, называли ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционный характер этой системы легко понять на при­мере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая — три десятка, третья — три единицы.

Сравните: VI и IV в непозиционной системе записи чисел, 51 и 15 – в позиционной.

В позиционных системах счисления определяющим является понятие основания системы счисления.

Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Для записи чисел в позиционной системе с основанием q нужно иметь алфавит из q цифр. Обычно для этого при q < 10 используют n первых арабских цифр, а при q> 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Основание

Название

Алфавит

N = 2

двоичная

01

N = 3

троичная

0 1 2

N = 8

восьмеричная

0 1 234567

N=10

десятичная

0123456789

N=11

одинадцатеричная

0123456789A

N=16

шестнадцатеричная

0123456789ABCDEF

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу.

Например: 1011012, 36718, 3B8F16

Последнее изменение: Среда, 21 Февраль 2018, 10:29